Can – означает уметь, мочь, можно, т.е., вы хотите рассказать о том, что вы умеете и можете делать: I can speak English. А также сказать или спросить, что можно делать: You can come later./ Can I take your pen?
Could – это форма 'can' в прошедшем времени: He could speak English when he was seven.
Также could может употребляться в вопросительных предложениях настоящего времени, что придаёт более вежливую форму обращения: Could you hold it for me?
To be able to – это синоним ‘can’, однако, употребляется во временах, где не существует формы ‘can’: She will be able to meet you tomorrow. Также, когда речь идёт о фактически совершившемся действии, только ‘be able to’ может употребляться: They were able to translate the article without a dictionary.
To be allowed to – означает разрешается или нет, но в конкретной ситуации в прошлом. Таким образом, в данном случае употребляется только эта конструкция: I was allowed to leave work early to see a doctor.
